1. Explicar las diferencias entre los controladores vistos en el aula (P, PD, P-D, PI, PID, PI-D, PID-D y D|PID) desde la perspectiva del seguimiento de señales de referencia monómicas y el comportamiento de régimen transitorio, explicando cómo afectan los parámetros $K_P$, $\tau_D$ y $\tau_I$ a cada uno de ellos (20 %).

Utilizar como ejemplo a controlar la función de transferencia simplificada del motor DC:

$$G(s) = \frac{K}{s \cdot (s+p)}$$

Controlador P

Donde la función de transferencia del sistema puede expresarse como:

$$H(s) = \frac{G_C(s) \cdot G(s)}{1 + G_C(s) \cdot G(s)}$$

En el dominio de Laplace será $G_c(s) = K_p$ y $G(s) = \frac{K}{s \cdot (s+p)}$, por lo que la función de transferencia en lazo cerrado se podría dibujar de la siguiente forma:

La función de transferencia del lazo cerrado será:

$$H_P(s) = \frac{K_p \cdot K}{s^2 + ps + K_p \cdot K}$$

De la expresión anterior se puede observar que el numerador contiene un “subpolinomio completo” del denominador de grado 0. Por lo que el error del sistema en regimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = 0 \Rightarrow$ para señales de entrada monómicas de orden 0, esto es, señales escalón.
• $e_{SS,1} (\infty) = \frac{4 \cdot \xi^2}{p} \Rightarrow$ para señales monómicas de orden 1, señales de tipo rampa. El error disminuirá si disminuye el valor de $\xi$.
• $e_{SS,2}(\infty) = \infty \Rightarrow$ para señales de orden 2, señales de tipo parábola

El controlador P sólo se verá afectado por el parámetro $K_p$, pues su F.T. depende de este valor. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de \(K_P)\ a la salida del controlador.

Al aumentar el valor de $K_p$ aumentar el valor de los polos complejos del lazo cerrado, que hace que hayan más oscilaciones, y aumenta la sobreenloganción máxima $M_p$. El tiempo de establecimiento $t_s$ es el mismo en los distintos casos. Podemos concluir con lo siguiente:

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} oscilaciones \uparrow \\ M_p \uparrow \end{cases}$$

Controlador P-D

El controlador P-D consiste en un sistema de control realimentado con un controlador de tipo proporcional y derivativo con el factor proporcional en el lazo directo y el factor derivativo en el lazo paralelo. La F.T del controlador es la siguiente:

$$H_{P-D}(s) = \frac{K_p \cdot K}{s^2 + s(p + K_p \cdot K \cdot \tau_D) + K_p \cdot K}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 0. Puesto que es de orden 0, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia de tipo escalón.
• $e_{SS,1} (\infty) = \frac{2 \cdot \beta_2\xi^2}{p} \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo rampa. En este caso, para reducir el error deberán reducirse los parámetros $\beta_2$ y $\xi$.
• $e_{SS,2}(\infty) = \infty \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola.

El controlador P sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$ y $\tau_D$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En primer lugar veremos la respuesta del controlador con la variación del valor de $K_p$ manteniendo constante el valor de $\tau_d$. Cuando aumenta el valor de $K_p$ hace que aumente el tiempo de establecimiento $t_s$, y la sobreenlonganción máxima $M_p$ no se ve muy afectada.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} oscilaciones \uparrow \\ t_s \uparrow\end{cases}$$

En segundo lugar, veremos la respuesta del controlador con la variación del valor $\tau_d$ manteniendo constante $K_p$. Aumentando el valor de $\tau_d$ hacemos que aumente la estabilidad del sistema, reduciendo el número de oscilaciones y el tiempo de establecimiento $t_s$. El valor de la sobreenlonganción máxima $M_p$ no se ve muy afectada.

$$\tau_d \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow\end{cases}$$

El comportamiento derivatico del controlador hace que se comporte de la siguiente forma:

$$y(t=0) = 0$$

Esto implica que la curva empieza tangente al eje t, teniendo un arranque suave.

Controlador PD

Este controlador tiene el siguiente esquema:

La función de transferencia de este controlador es la siguiente:

$$H_{PD}(s) = \frac{K_p \cdot K (1 + \tau_D \cdot s)}{s^2 + s(p + K_p \cdot K \cdot \tau_D) + K_p \cdot K}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 0. Puesto que es de orden 0, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia de tipo escalón.
• $e_{SS,1} (\infty) = \frac{2 \cdot \beta_2\xi^2}{p} \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo rampa. En este caso, para reducir el error deberán reducirse los parámetros $\beta_2$ y $\xi$
• $e_{SS,2}(\infty) = \infty \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola.

El controlador PD sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$ y $\tau_D$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En primer lugar veremos la respuesta del controlador con la variación del valor de $K_p$ manteniendo constante el valor de $\tau_d$. Cuando aumenta el valor de $K_p$ hace que el sistema se vuelva más inestable y aumente ligeramente el tiempo de establecimiento $t_s$, y la sobreenlonganción máxima $M_p$ aumenta ligeramente.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \uparrow \\ oscilaciones \uparrow \\ t_s \uparrow \end{cases}$$

En segundo lugar, veremos la respuesta del controlador con la variación del valor $\tau_d$ manteniendo constante $K_p$. Aumentando el valor de $\tau_d$ hacemos que aumente la estabilidad del sistema, reduciendo el tiempo de establecimiento $t_s$. El valor de la sobreenlonganción máxima $M_p$ no se ve muy afectada. Para valores bajos de $\tau_d$ aparecen polos complejos en lazo cerrado que aumentan las oscilaciones del sistema, con lo que aumentando dicho valor disminuirán las oscilaciones.

$$\tau_d \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow\end{cases}$$

La respuesta del controlador PD en el origen tiene el siguiente valor:

$$y(t=0) = - \omega_n \cdot \xi \cdot (\beta_2 - 2)$$

La expresión anterior depende del valor de la constante $\beta_2$, por lo que tendremos los siguientes escenarios:

• Si $\beta_2 < 2$ hace que $y(t=0) > 0$ lo que implica que el sistema tenga un arranque rápido.
• Si $\beta_2 > 2$ hace que $y(t=0) < 0$ lo que implica que el sistema arranca en sentido negativo.
• Si $\beta_2 = 2$ hace que $y(t=0) = 0$ lo que implica que el sistema tenga un arranque lento.

Controlador PI

El controlador PI tiene el siguiente esquema:

La función de transferencia en lazo cerrado del sistema puede escribirse de la siguiente forma:

$$H_{PI}(s) = \frac{K_p \cdot K (s + \frac{1}{\tau_i})}{s^2(s+p) + K_p \cdot K (s + \frac{1}{\tau_i})}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 1. Puesto que es de orden 1, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = (e_{SS,1} (\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia monómicas hasta de orden 1: escalón y rampa.
• $e_{SS,2} (\infty) = \frac{\tau_i \cdot p}{K_p \cdot K} = \frac{\beta_2^3 \cdot \xi^2}{p^2(\beta_2 - 2)} \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola. En este caso, para reducir el error deberán reducirse los parámetros $\tau_i$, o bien aumentar $\K_p$

El controlador PI sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$ y $\tau_i$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En primer lugar veremos la respuesta del controlador con la variación del valor de $K_p$ manteniendo constante el valor de $\tau_i$. Cuando aumenta el valor de $K_p$ hace que el sistema se vuelva más inestable, aumentando las oscilaciones, el tiempo de establecimiento $t_s$, y la sobreenlonganción máxima $M_p$.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \uparrow \\ oscilaciones \uparrow \\ t_s \uparrow \end{cases}$$

En segundo lugar, veremos la respuesta del controlador con la variación del valor $\tau_i$ manteniendo constante $K_p$. Aumentando el valor de $\tau_i$ hacemos que aumente la estabilidad del sistema, reduciendo el tiempo de establecimiento $t_s$. El valor de la sobreenlonganción máxima $M_p$ disminuirá.

$$\tau_i \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \downarrow \\ oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow\end{cases}$$

Controlador PID

El controlador PID tiene el siguiente esquema:

La función de transferencia del controlador será la siguiente:

$$H_{PID}(s) = \frac{K \cdot K_p \cdot \tau_D (s^2 + \frac{s}{\tau_D} + \frac{1}{\tau_D \cdot \tau_i})}{s^2(s+p) + K \cdot K_p \cdot \tau_D (s^2 + \frac{s}{\tau_D} + \frac{1}{\tau_D \cdot \tau_i})}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 1. Puesto que es de orden 1, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = (e_{SS,1} (\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia monómicas hasta de orden 1: escalón y rampa.
• $e_{SS,2} (\infty) = \frac{\beta_2^3 \cdot \xi^2}{\beta \cdot p^2} \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola. En este caso, para reducir el error deberán de disminuir el coeficiente de amortiguamiento $\xi$ y la constante $\beta_2$, o bien aumentar la constante $\beta$.

El controlador PID sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$, $\tau_d$ y $\tau_i$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En este controlador existen polos con parte compleja lo que hará que haya oscilaciones. Al aumentar el valor de $K_p$, $\tau_d$ o $\tau_i$ se da lugar a mayor estabilidad en el sistema y se reduce el tiempo de establecimiento $t_s$ y la sobreenlonganción máxima $M_p$.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \downarrow \\ oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow \end{cases}$$

Controlador PI-D

El controlador PI-D tiene el siguiente esquema:

La función de transferencia del sistema es la siguiente:

$$H_{PI-D}(s) = \frac{K \cdot K_p (s + \frac{1}{\tau_i})}{s^2(s+p) + K \cdot K_p \cdot \tau_D (s^2 + \frac{s}{\tau_D} + \frac{1}{\tau_D \cdot \tau_i})}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 1. Puesto que es de orden 1, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = (e_{SS,1} (\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia monómicas hasta de orden 1: escalón y rampa.
• $e_{SS,2} (\infty) = \frac{\beta_2^2 \cdot (\beta + 2) \cdot \xi^2}{\beta \cdot p^2} \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola. En este caso, para reducir el error deberán de disminuir el coeficiente de amortiguamiento $\xi$ y la constante $\beta_2$.

El controlador PI-D sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$, $\tau_d$ y $\tau_i$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En este controlador existen polos con parte compleja lo que hará que haya oscilaciones. Un aumento en el valor de $K_p$, $\tau_d$ o $\tau_i$ dará lugar a mayor estabilidad en el sistema y se reduce el tiempo de establecimiento $t_s$ y la sobreenlonganción máxima $M_p$.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \downarrow \\ oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow \end{cases}$$

Controlador PID-D

El controlador PID-D tiene el siguiente esquema

La función de transferencia del controlador es la siguiente:

$$H_{PID-D}(s) = \frac{K \cdot K_p \cdot \tau_{D1} (s^2 + \frac{s}{\tau_{D1}} + \frac{1}{\tau_{D1} \cdot \tau_i})}{s^2(s+p) + K \cdot K_p \cdot \tilde \tau_D (s^2 + \frac{s}{\tilde \tau_D} + \frac{1}{\tilde \tau_D \cdot \tau_i})} \\ \tilde \tau_D = \tau_{D1} + \tau_{D2}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 1. Puesto que es de orden 1, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = (e_{SS,1} (\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia monómicas hasta de orden 1: escalón y rampa.
• $e_{SS,2} (\infty) = cte \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola. En este caso, el error será nulo si $K_p \tau_{D2} = - \frac{p}{K}$

El controlador PID-D sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$, $\tau_{d1}$, $\tau_{d2}$ y $\tau_i$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En este controlador existen polos con parte compleja lo que hará que haya oscilaciones. Una disminución en el valor de $K_p$, $\tau_{d1}$ o $\tau_i$ dará lugar a menor estabilidad en el sistema, en el que aumentarán las oscilaciones y se aumenta el tiempo de establecimiento $t_s$ y la sobreenlonganción máxima $M_p$.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \downarrow \\ oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow \end{cases}$$

Por otra parte, un aumento del valor de $\tau_D2$ hará que el sistema se vuelva más inestable, aumentando la sobreenlongación máxima $M_p$, las oscilaciones y el tiempo de establecimiento $t_s$.

$$\tau_{d2} \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \uparrow \\ oscilaciones \uparrow \\ t_s \uparrow \end{cases}$$

Controlador D|PID

El controlador D|PID tiene el siguiente esquema:

La función de transferencia de este controlador es la siguiente:

$$H_{D|PID}(s) = \frac{K \cdot K_p \cdot \tilde \tau_{D} (s^2 + \frac{s}{\tilde \tau_{D}} + \frac{1}{\tilde \tau_{D} \cdot \tau_i})}{s^2(s+p) + K \cdot K_p \cdot \tilde \tau_{D1} (s^2 + \frac{s}{\tilde \tau_{D1}} + \frac{1}{\tilde \tau_{D1} \cdot \tau_i})} \\ \tilde \tau_D = \tau_{D1} + \tau_{D2}$$

El numerador contiene el “subpolinomio completo” del denominador de grado 1. Puesto que es de orden 1, el error en régimen permanente será:

• $e_{SS,0}(\infty) = (e_{SS,1} (\infty) = 0 \Rightarrow$ Para señales de referencia monómicas hasta de orden 1: escalón y rampa.
• $e_{SS,2} (\infty) = cte \Rightarrow$ Para señales de referencia tipo parábola. En este caso, el error será nulo si $K_p \tau_{D2} = \frac{p}{K}$

El controlador PID-D sólo se verá afectado por los parámetros $K_p$, $\tau_{d1}$, $\tau_{d2}$ y $\tau_i$. Se va a realizar un estudio de cómo afecta la variación de los diferentes parámetros a la respuesta del controlador.

En este controlador existen polos con parte compleja lo que hará que haya oscilaciones. Una disminución en el valor de $K_p$, $\tau_{d1}$ o $\tau_i$, o un aumento del valor de $\tau_{d2}$ dará lugar a menor estabilidad en el sistema, en el que aumentarán las oscilaciones y se aumenta el tiempo de establecimiento $t_s$ y la sobreenlonganción máxima $M_p$.

$$K_p \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \downarrow \\ oscilaciones \downarrow \\ t_s \downarrow \end{cases} \qquad \tau_{d2} \uparrow \quad \Rightarrow \begin{cases} M_p \uparrow \\ oscilaciones \uparrow \\ t_s \uparrow \end{cases}$$

Comparación de los resultados

Notas Varias

• El script de matlab se basa en el dado en simulabo este