Tema 1 - Introducción
Cálculo de las incertidumbres típicas involucradas:
Tipo A (Cuando te dan una serie de valores)
Aquellas que se evalúan mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones.
- Cálculo de la varianza experimental:
$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i = 1}(X_k - \bar{X})^2 $$
Siendo la media (tipo estimador) el estimador del valor esperado de X
$$ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum^{n}_{k = 1} X_k $$
- Calculo desviación estándar de la medida o desviación típica
$$ u(X) = u(\bar x) = \sigma = \sqrt{\frac{S^2}{n}} $$
Tipo B (Análisis estadísticos u observación)
Aquellas que se evalúan por medios distintos al análisis estadístico de series de observaciones
Tipos:
- Comprendida entre un intervalo de valores | Incertidumbre debida al redondeo -> Desviación uniforme
$$ u(X) = \sigma = \frac{a}{\sqrt{3}} \qquad \text{Tal que a sea el error de medida} $$
Por ejemplo en un display de 5 dígitos que el valor es 115,02 tiene un error de \(\pm 0,01\) que significa que \(u(\Delta m_d) = \frac{0,005}{\sqrt{3}}\)
- Comprendida con la probabilidad | Incertidumbre debida a un patrón -> Distribución gaussiana u otra
$$ p \equiv \text{propabilidad} \rightarrow \text{cogemos k de la tabla} $$
$$ u(X) = \sigma = \frac{x}{K} $$
Siendo K el factor de cobertura.
Si no nos pone qué distribución de probabilidad se ha usado. Tenemos que supoer que es gaussiana. Y si nos dice que el valor del patrón con un 99% de probabilidad, esto quiere decir que \(K = k_{99} = 2,576\) por lo tanto la semianchura del intervalo es \(0,0015 = 2,576 \sigma \Rightarrow u(\Delta m_p) = \frac{0,0015}{2,576}\). Se suele usar \(k = 2\) para una probabilidad \(p = 95 \%\) y \(k = 3\) para \(p =99 \%\)
- Incertidumbre típica -> Calculada a partir de otra
$$ \alpha = \text{desviación x lectura1 + desviación x lectura 2} $$
$$ u(X) = \frac{\alpha}{\sqrt{3}} $$
Por ejemplo en el ejecicio te dice que \(u(\Delta m) = \pm 0,1 \% \cdot lectura \pm 0,05 \% \cdot escala\) con lo que \(a = 0,001 \cdot 115,00 + 0,0005 \cdot 100\) siendo 115,00 el valor medio de la lectura.
Modelo teórico
$$ \text{Valor} = (\text{ecuación})_{\text{+ incertidumbres}} $$
Se suponen 0 las incertidumbres.
Por ejemplo en el caso de una balanza, el valor de la Masa del modelo teórico sería de la siguiente forma:
$$M = \bar m + \Delta m_d + \Delta m_p + \Delta m$$
- Tal que \(\Delta m_d\) Es la incertidumbre debida al número de dígitos del display
- Tal que \(\Delta m_p\) Es la incertidumbre debida a la masa patrón
- Tal que \(\Delta m\) es la incertidumbre debida a la exactitud de la balanza
Después hay que comprobar lo siguiente para que el modelo teórico sea válido:
- Unidades coherentes: Que todos los sumandos sean de las mismas unidades
- Valor esperado correcto: El valor esperado se haría de la siguiente forma:
$$E(M) = E(\bar m + \Delta m_d + \Delta m_p + \Delta m) = \\ = E(\bar m) + E(\Delta m_d) + E(\Delta m_p) + E(\Delta m) = 115,0 + 0 + 0 + 0 = 115,00 g$$
Que tiene que coincidi con el que cabría esperar.
Incertidumbre combinada
Cuidao -> La incertidumbre combinada es \(u_c\) no es \(u_c^2\)
-> Ley de la propagación de la incertidumbre
$$u_c^2(X) = \sum^{\text{nº incertidumbres}}_{i=1}\big(\frac{d\text{Modelo teórico}}{d\text{tipo incertidumbre}}\big)^2 u^2(\text{tipo incertidumbre})$$
Podemos desperdiciar alguna y dejar las que nos aporten. En general se intentará expresar con una o dos cifras significativas y se favorecerá el redondeo por exceso (criterio conservador). Se expresará el resultado de la siguiente forma (ejemplo) \((X = 115,0 \pm 0,1)\) dejando 115,0 con las décimas porque debe coincidir con la última posición decimal de la incertidumbre combinada.
Siguiendo un poco el caso anterior en el modelo teórico, se calcularía de la siguiente forma:
$$u^2_c =(\frac{dM}{d \bar m})^2 \cdot u^2(\bar m) + (\frac{dM}{d \Delta m_d})^2 \cdot u^2(\Delta m_d) + (\frac{dM}{d \Delta m_p})^2 \cdot u^2(\Delta m_p) + (\frac{dM}{d \Delta m})^2 \cdot u^2(\Delta m)$$
Incertidumbre expandida
$$\text{95% -> } u = 2 \cdot u_c(X)$$
$$\text{99% -> } u = 3 \cdot u_c(X)$$
Por ejemplo:
$$U_{99}(M) = 3 \cdot u_c(M) = 0,3 \\ M = (115,0 \pm 0,3)$$
Expresar resultado de la medida
$$\text{Valor} = \text{Valor modelo} \pm u_c$$
Redondeando apropiadamente los decimales.
Últimas notas antes del examen
Cuando nos dan un valor expresado de la siguiente forma \(T = (150 \pm 1) ºC\) y no nos dicen nada más, la incertidumbre se calculará de la siguiente forma: \(u(T) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Y ponemos algo como :
La incertidumbre se indica como un intervalo, pero no se indica su nivel de confianza (su probabilidad). Por tanto, asumimos que el intervalo marca los límites dentro de los cuales con toda seguridad se encuentra el valor esperado de T, es decir, asumimos una distribución rectangular (uniforme). La semianchura de la distribución sería a = 1ºC.